\section[质能关系]{\makebox[5em][s]{质能关系}}\label{sec:11.07}

本节再讨论相对论力学的另一个重要结论。我们仍从相对论
的质点运动方程\eqref{eqn:11.06.01}出发。注意其中质量是速度的函数式\lhbrak \eqref{eqn:11.06.12} \rhbrak ，所以
\begin{equation}\label{eqn:11.07.01}
  \begin{split}
    \vec{F} &= \frac { \dif } { \dif t } \left( m \vec{u} \right) \\
    &= m \frac { \dif \vec{u} } { \dif t } + \vec{u} \frac { \dif m } { \dif t }
  \end{split}
\end{equation}
其中$ \vec{u} $为质点速度矢量。外力$\vec{F}$作的功仍应等于质点动能的增
加，即
\begin{equation*}
  \Delta E = \int _ 1 ^ 2 \vec{F} \cdot \dif \vec{s}
\end{equation*}
利用式\eqref{eqn:11.07.01}，上式化为
\begin{equation}\label{eqn:11.07.02}
  \begin{aligned}
    \Delta E & =\int_{1}^{2} m \frac{ \dif \vec{u}}{ \dif t} \cdot \dif \vec{s}+\int_{1}^{2} \frac{ \dif m}{ \dif t} \vec{u } \cdot \dif \vec{s} \\
             & =\int_{1}^{2} m \vec{u} \cdot \dif \vec{u}+\int \vec{u} \cdot \vec{u} \dif m                                                      \\
             & =\frac{1}{2} \int_{1}^{2} m \dif u^{2}+\int_{1}^{2} u^{2} \dif m
  \end{aligned}
\end{equation}
其中1及2分别表示初始及终了两状态。根据式\eqref{eqn:11.06.12}，可
得
\begin{equation}\label{eqn:11.07.03}
  u ^ { 2 } = c ^ { 2 } \left( 1 - \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } \right)
\end{equation}
故
\begin{equation}\label{eqn:11.07.04}
  \frac{ \dif u^{2}}{ \dif m}=-\frac{2 m_{0}^{2} c^{2}}{m^{3}}
\end{equation}
将式\eqref{eqn:11.07.03}、\eqref{eqn:11.07.04}代入式\eqref{eqn:11.07.02}，得到

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~\vspace{-1.2em}
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \Delta E & =\int_{1}^{2} m \frac{m_{0}^{2} c^{2}}{m^{3}} \dif m+\int_{1}^{2} c^{2}\Bigg(1-\frac{m_{0}^{2}}{m^{2}}\Bigg) \dif m \\
             & =\int_{1}^{2} c^{2} \dif m
  \end{aligned}
\end{equation*}
\begin{align}\label{eqn:11.07.05}
  \beforetext{即}\Delta E = c ^ { 2 } \Delta m
\end{align}
此式表明能量的变化与质量的变化之间有简单的比例关系。它意
味着能量与质量本身之间存在着简单的比例关系，即
\begin{equation}\label{eqn:11.07.06}
  E = m c ^ { 2 }
\end{equation}
当然，如果在式\eqref{eqn:11.07.06}中附加以任何常数，仍能导致式
\eqref{eqn:11.07.05}，写出式\eqref{eqn:11.07.06}，即相当于取该常数为零。按照式
\eqref{eqn:11.06.12}，式\eqref{eqn:11.07.06}还可写成
\vspace{-1.2em}
\begin{equation}\label{eqn:11.07.07}
  E=\frac{m_{0} c^{2}}{\sqrt{1-u^{2} / c^{2}}}
\end{equation}
如果展开成$ \dfrac { u ^ 2 } { c ^ 2 } $的幂级数，则
\begin{equation}\label{eqn:11.07.08}
  E=m_{0} c^{2}\Big\{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{c^{2}}+\frac{3}{8} \cdot \frac{u^{4}}{c^{4}}+\cdots\Big\}
\end{equation}
当$ u $小时，忽略掉所有较高级项，只保留前两项，得到
\begin{equation}\label{eqn:11.07.09}
  E \approx m _ { 0 } c ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m _ { 0 } u ^ { 2 }
\end{equation}
上式第一项是常数，第二项是质点动能项。在速度较大时，动能
已不能仅由$ \dfrac { 1 } { 2 } m _ { 0 } u ^ 2 $来表示，而应考虑$ \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{m_0 u^{4}}{c^{2}} $等修正项。特别
应注意的是，按式\eqref{eqn:11.07.06}，当质点速度为零时，它的能量并不
为零，而是等于
\begin{equation}\label{eqn:11.07.10}
  E = m _ { 0 } c ^ { 2 }
\end{equation}
也就是说，即使质点没有运动，只要它的静止质量不为零，它就
已经具有能量。这个能量与静止质量成正比。这个重要的论断已
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被大量的实验直接证实了。
